গাণিতিক ক্রম এবং জ্যামিতিক অনুক্রমের মধ্যে পার্থক্য: অর্ধমৃত বনাম জ্যামিতিক ক্রম | অরিত্র্যাটিক বনাম জ্যামিতিক অগ্রগতি

গাণিতিক ক্রম জ্যামিতিক ক্রম বনাম

সংখ্যা এবং তাদের আচরণের নিদর্শনগুলির গবেষণা গণিতের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যয়ন। প্রায়ই এই নিদর্শন প্রকৃতিতে দেখা যায় এবং একটি বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণ থেকে তাদের আচরণ ব্যাখ্যা করতে সাহায্য করে। অ্যারিথম্যাটিক সিকোয়েন্স এবং জ্যামিতিক সিকোয়েন্সগুলি দুটি মৌলিক প্যাটার্ন যা সংখ্যায় ঘটে এবং প্রায়ই প্রাকৃতিক ঘটনাগুলির মধ্যে পাওয়া যায়।

ক্রমটি ক্রমানুসারী সংখ্যাগুলির একটি সেট। অনুক্রমের উপাদানগুলির সংখ্যা সীমাবদ্ধ বা অসীম হতে পারে।

অ্যারিথম্যাটিক সিকোয়েস সম্পর্কে আরও (অ্যারথম্যাটিক প্রগ্রেশন)

একটি গাণিতিক ক্রম সংখ্যার সংখ্যার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা প্রতিটি পরপর মেয়াদে একটি ধ্রুবক পার্থক্য। এটি গাণিতিক অগ্রগতি হিসাবেও পরিচিত।

অ্যারিথম্যাটিক সেকুনিস ⇒ একটি ₁ , একটি ₂ , একটি _3, একটি ₄ , …, একটি _{n <; যেখানে একটি} 2 _{= একটি} 1 _{+ ডি, একটি} 3 _{= একটি} 2 _{+ ডি, ইত্যাদি।} --২ ->

প্রাথমিক শব্দটি যদি

1 _{হয় এবং সাধারণ পার্থক্যটি ডি হয়, তাহলে n} ও ^{ক্রমটি দ্বারা দেওয়া হয়;} একটি

n _{= একটি} 1 _{+ (এন -1) ঘ} উপরের ফলাফল গ্রহণ করে, n

ও ^{মেয়াদ দেওয়া যেতে পারে যেমন;} একটি

n _{= একটি} m _{+ (nm) ডি,} যেখানে একটি m _{ক্রম একটি র্যান্ডম শব্দ যেমন n> m ।}

এমনকি সংখ্যা এবং বিজোড় সংখ্যার সেট সংখ্যা গাণিতিক অনুক্রমের সবচেয়ে সহজ উদাহরণ, যেখানে প্রতিটি ক্রমের একটি সাধারণ পার্থক্য (d) 2।

একটি অনুক্রমের পদগুলির সংখ্যা হতে পারে আনন্দের বা সসীম। অসীম ক্ষেত্রে (n → ∞), ক্রম সাধারণ পার্থক্য (একটি

n _{→ ± ∞) উপর ভিত্তি করে অনাক্রম্য হয়। যদি সাধারণ পার্থক্য ইতিবাচক হয় (ডি> 0), অনুক্রম ধনাত্মক অ্যান্টিনাটি থাকে এবং যদি সাধারণ পার্থক্যটি নেতিবাচক (d <0) হয়, তবে এটি নেতিবাচক অসীমতা। শর্তাবলী সীমিত হলে ক্রমটি সসীম।} --২ ->

গাণিতিক ক্রমে পদগুলির সংখ্যাটি গাণিতিক সিরিজ নামে পরিচিত: S

n _{= একটি} 1 _{+ একটি} 2 + একটি ₃ + একটি ₄ + ⋯ + একটি _n = Σ _{i = 1 → n} একটি _i; এবং S _n = (n / 2) (একটি ₁ + a _n ) = (n / 2) [2a _{1 < + (এন -1) ডি] সিরিজের মান (এস} এন) _{দেয়।} জ্যামিতিক সিকোয়েন্স সম্পর্কে আরও (জ্যামিতিক অগ্রগতি)

একটি জ্যামিতিক ক্রম একটি ক্রম রূপে সংজ্ঞায়িত করা হয় যা কোনও দুটি ধাপে ধাপের একটি ধ্রুবক। এটি জ্যামিতিক অগ্রগতি নামেও পরিচিত।

জ্যামিতিক ক্রম ⇒ একটি

1

, একটি

2 _{, একটি} 3 _{, একটি} 4 _{, …, একটি} n <; যেখানে একটি ₂ / একটি ₁ = r, a ₃ / একটি ₂ = r, এবং তাই, যেখানে একটি বাস্তব সংখ্যা। _{সাধারণ অনুপাত (r) এবং প্রাথমিক শব্দ (a) ব্যবহার করে জ্যামিতিক ক্রম প্রতিনিধিত্ব করা সহজ। তাই জ্যামিতিক ক্রম ⇒ একটি} 1 _{, একটি} 1

r, a ₁ r ₂ , একটি ₁ r ³ , …, একটি ₁ r ^n-1 । _n ও ^{সাধারণ} n

= একটি ¹ r _n-1 দ্বারা প্রদত্ত শর্তগুলির সাধারণ রূপ। (প্রাথমিক শব্দ ⇒ একটি _n = আর ^{এন -1} ) জ্যামিতিক ক্রম এছাড়াও সীমিত বা অসীম হতে পারে। যদি সংখ্যাটি সীমিত হয়, তাহলে ক্রমটি সসীম হতে বলা হয়। এবং যদি শর্তগুলি অসীম হয়, অনুক্রমটি অনুপাতের উপর নির্ভর করে অনুক্রম বা সীমারেখা হতে পারে। সাধারণ অনুপাত জ্যামিতিক সিকোয়েন্সের অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য প্রভাবিত করে। ^{আর> ও} --২ ->

0 ক্রম সংকলন - এক্সপোনিটেনেশাল ডে, আমি ঙ। একটি

n → 0, n → ∞	r = 1	স্থায়ী ক্রম, আমি। ঙ। একটি n = ধ্রুবক
r> 1	ক্রম ডিভারেজ - এক্সপোনেনশিয়াল বৃদ্ধি, আমি ঙ। একটি n → ∞, n → ∞
r <0	-1 ক্রমটি oscillating হয়, কিন্তু রূপান্তর
r = 1 ক্রম ঘুরপাক এবং ধ্রুবক, আমি। ঙ। একটি	n	= ± ধ্রুবক
r <-1	ক্রম ঘুরপাক এবং বিপরীত হয়। আমি। ঙ। একটি n → ± ∞, n → ∞
r = 0	ক্রমটি জিরোসের একটি স্ট্রিং N। বি: উপরের সমস্ত ক্ষেত্রে, একটি 1
0; যদি একটি	1

<0, একটি _n এর সাথে সম্পর্কিত লক্ষণ বিপর্যস্ত করা হবে। _{একটি বলের বাউন্সের মধ্যে সময় বিরতি আদর্শ মডেলের একটি জ্যামিতিক ক্রম অনুসরণ করে, এবং এটি একটি সমান্তরাল ক্রম।} জ্যামিতিক ক্রমের পরিসংখ্যান একটি জ্যামিতিক সিরিজ হিসাবে পরিচিত; S _n = ar + ar

2

+ ar ₃ + ⋯ + আর ⁿ = Σ ^{i = 1 → n আরবী ভাষায়} আমি ^{। নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে জ্যামিতিক সিরিজ সমষ্টি গণনা করা যেতে পারে।} S _n = একটি (1-r ⁿ ) / (1-r)

; যেখানে একটি প্রাথমিক শব্দ এবং r হল অনুপাত। _{অনুপাত, r ≤ 1, সিরিজ converges। একটি অসীম শৃঙ্খার জন্য, সংশ্লেষণের মান S} n ^{= a / (1-r)} অর্ধমৃত এবং জ্যামিতিক ক্রম / অগ্রগতির মধ্যে পার্থক্য কি? • একটি গাণিতিক অনুক্রমে, যেকোনো দুইটি ধাপে একটি সাধারণ পার্থক্য থাকে (ডি) যখন জ্যামিতিক ক্রমে, কোনও দুটি পরপর পদে একটি ধ্রুবক অংশ (r) থাকে।

• একটি গাণিতিক অনুক্রমে, পদগুলির বৈচিত্রতা রৈখিক, i। ঙ। একটি সরল রেখা সব পয়েন্ট মাধ্যমে পাস টানা হতে পারে। একটি জ্যামিতিক সিরিজ মধ্যে, বৈকল্পিক এক্সপোনেনশিয়াল হয়; সাধারণ অনুপাত উপর ভিত্তি করে ক্রমবর্ধমান বা ক্ষয়প্রাপ্ত। _{• সমস্ত অসীম গাণিতিক অনুক্রম ভিন্ন, যদিও অসীম জ্যামিতিক সিরিজ পৃথক বা সংকীর্ণ হতে পারে।} • অনুপাত r হল নেতিবাচক এবং যদি অনুক্রমিক সিরিজ দোলন প্রদর্শন না হয় তবে জ্যামিতিক সিরিজ oscillation প্রদর্শন করতে পারে