লিনিয়ার এবং ননলিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির মধ্যে পার্থক্য
লিনিয়ার বনাম অ্যানিলেয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ
অজানা ভ্যারিয়েবলের অন্তত একটি ডিফারেনশিয়াল কোফাফিন বা ডেরিভেটিভ সহ একটি সমীকরণ একটি ডিফারাল সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। একটি পার্থক্য সমীকরণ রৈখিক বা অ-রৈখিক হতে পারে। এই প্রবন্ধের সুযোগটি কীভাবে রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ, অরৈখিক সমীকরণের সমীকরণ এবং লিনিয়ার এবং অরৈখিক পার্থক্য সমীকরণগুলির মধ্যে পার্থক্য কি তা ব্যাখ্যা করতে হয়।
18 শতকের গণিতবিদ নিউটন এবং লিবিনিৎসের মতো গণিতবিদদের দ্বারা ক্যালকুলাসের উন্নয়নের পর থেকে ডিফল্ট সমীকরণটি গণিতের গল্পে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। বিভিন্ন শ্রেণির অ্যাপ্লিকেশনের কারণে গণিতের মধ্যে বৈষম্য সমীকরণগুলি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি প্রত্যেক মডেলের হৃদয়ে রয়েছে যা আমরা বিশ্বজুড়ে কোনও ঘটনা বা ঘটনাকে ব্যাখ্যা করতে পারি, এটি পদার্থবিজ্ঞান, প্রকৌশল, রসায়ন, পরিসংখ্যান, আর্থিক বিশ্লেষণ বা জীববিজ্ঞান (তালিকাটি অসীম) কিনা। প্রকৃতপক্ষে, যতক্ষণ ক্যালকুলাস একটি প্রতিষ্ঠিত তত্ত্ব হয়ে ওঠে, তখন প্রকৃতির আকর্ষণীয় সমস্যাগুলির বিশ্লেষণের জন্য সঠিক গাণিতিক যন্ত্রগুলি অনুপলব্ধ ছিল।
ক্যালসুলেশন একটি নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশন থেকে সমীকরণ ফলাফল খুব জটিল হতে পারে এবং কখনও কখনও solvable না। যাইহোক, এমন কিছু আছে যা আমরা সমাধান করতে পারি, কিন্তু একই রকম এবং বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে। অতএব, সহজ সনাক্তকরণের জন্য ডিফারিকাল সমীকরণগুলি তাদের গাণিতিক আচরণ দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। রৈখিক এবং অরৈখিক একটি যেমন শ্রেণীবিন্যাস। রৈখিক এবং নন-লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির মধ্যে পার্থক্যটি চিহ্নিত করা গুরুত্বপূর্ণ।
লিনিয়ার ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ কি?
অনুমান করুন যে f: X → Y এবং f (x) = y, একটি অজানা ফাংশন অরৈখিক পরিপ্রেক্ষিতে ব্যবধান সমীকরণ y এবং তার ডেরিভেটিভস একটি রৈখিক বিভাজক সমীকরণ হিসাবে পরিচিত হয়।
এটি এমন শর্তকে আরোপ করে যে y y = 2 , y 3 , … এবং ডেরাইভেটিভসগুলির গুণকগুলি যেমন এর মধ্যে রেখাঙ্কর যেমন সিন
y, e y ^ - 2, অথবা ln y এটি ফর্ম নেয়,
y এবং g এর কাজগুলি x । সমীকরণ একটি <3 n অর্ডারের একটি ডিফারাল সমীকরণ, যা সর্বোচ্চ অর্ডার ডেরিভেটিভের সূচক। একটি রৈখিক পার্থক্য সমীকরণে, পার্থক্য অপারেটর একটি রৈখিক অপারেটর এবং সমাধান একটি ভেক্টর স্থান গঠন করে। সমাধান সেট রৈখিক প্রকৃতির ফলে, সমাধান একটি রৈখিক সংমিশ্রণ এছাড়াও ডিফারাল সমীকরণ একটি সমাধান।যে, যদি y
1 এবং y 2 ডিফারাল সমীকরণ সমাধান হয়, তারপর C 1 y 1 + সি 2 y 2 একটি সমাধানও। --২ -> সমীকরণের রৈখিকতাটি শ্রেণিবিন্যাসের একমাত্র প্যারামিটার, এবং এটি আরও homogenous বা অ হোমোজেনাস এবং সাধারণ বা আংশিক ডিফারাল সমীকরণগুলিতে শ্রেণীভুক্ত করা যায়। যদি ফাংশনটি
g= 0 হয় তাহলে সমীকরণটি একটি রৈখিক সমজাতীয় সমমানের সমীকরণ। যদি f দুই বা ততোধিক স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল (f: X, T → Y) এবং f (x, t) = y এর ফাংশন হয়, তাহলে সমীকরণ একটি রৈখিক আংশিক ডিফারাল সমীকরণ।
অ-লাইনের শর্তগুলির সমতুল্য অ-রৈখিক পার্থক্য সমীকরণ হিসাবে পরিচিত।
উপরের সবগুলি অরৈখিক পার্থক্য সমীকরণ আছে। নন-লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করা কঠিন, অতএব, একটি সঠিক সমাধান প্রাপ্ত করার জন্য ঘনিষ্ঠ অধ্যয়ন প্রয়োজন। আংশিক পার্থক্য সমীকরণগুলির ক্ষেত্রে, অধিকাংশ সমীকরণগুলিতে কোন সাধারণ সমাধান নেই। অতএব, প্রতিটি সমীকরণ স্বাধীনভাবে চিকিত্সা করা উচিত।
নবীয়-স্টোকস সমীকরণ এবং তরল গতিপথের মধ্যে অয়লারের সমীকরণ, আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার ক্ষেত্র সমীকরণগুলি সুপরিচিত অরৈখিক আংশিক ডিফারাল সমীকরণ। কখনও কখনও একটি ভেরিয়েবল সিস্টেমে Lagrange সমীকরণের প্রয়োগ অরৈখিক আংশিক পার্থক্য সমীকরণগুলির একটি সিস্টেমের ফলে হতে পারে।
লিনিয়ার এবং ননলিয়ার ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কি?
• একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা অজানা ও নির্ভরশীল ভেরিয়েবল এবং তার ডেরাইভেটিভের রৈখিক পদগুলির একটি রৈখিক ডিফারাল সমীকরণ হিসাবে পরিচিত। এটি 1 এর চেয়ে বেশি সূচকের নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাথে কোন শব্দ নেই এবং এর ডেরিভেটিভগুলির কোনও একক যোগফল নেই। এটি নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের সাথে অ্যানিমেইয়ার ফাংশন যেমন ত্রিমাত্রিক ফাংশন, এক্সপোনেনশনাল ফাংশন এবং লগারিদমিক ফাংশন থাকতে পারে না। উল্লিখিত পদগুলির মধ্যে থাকা কোনও বৈষম্য সমীকরণ একটি অরৈখিক সমীকরণ সমীকরণ।
• রৈখিক পার্থক্য সমীকরণগুলির সমাধানগুলি ভেক্টর স্থান তৈরি করে এবং ভেক্টর স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটর হয়।
• রৈখিক পার্থক্য সমীকরণগুলির সমাধানের অপেক্ষাকৃত সহজ এবং সাধারণ সমাধান বিদ্যমান। অরৈখিক সমীকরণগুলির জন্য, অধিকাংশ ক্ষেত্রে, সাধারণ সমাধানটি বিদ্যমান নয় এবং সমাধান সমস্যাযুক্ত হতে পারে। এই সমাধান রৈখিক সমীকরণ তুলনায় আরো কঠিন করে তোলে।
